Tú no necesitas una calculadora para hacer matemáticas simples. Aprende algunos trucos, y con un poco de práctica, te sorprenderás de cuanta aritmética puedes hacer en tu cabeza.
La mayoría de la gente necesita una calculadora para hacer hasta matemáticas simples. No tiene nada de malo hacerlo, pero si no hay una calculadora disponible, se puede volver un problema. Y aún si no se cuenta el tiempo para encontrar la calculadora, la aritmética mental de hecho puede ser más rápida que la calculadora.
En acción
Se han escrito libros completos sobre aritmética mental, así que no vamos a cubrir todo en este artículo. Este artículo cubre algunas técnicas típicas útiles por sí mismas. Si encuentras este artículo interesante y provechoso, puedes revisar alguno de los libros sobre el tema, algunos de los cuales se citan al final.
Re-acomodar
Supón que necesita sumar los siguientes números:9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
Podrías sumar 9 + 8 para obtener 17, luego sumar 7 a eso para obtener 24, y seguir adelante. Pero es mucho más fácil re-acomodar la suma:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 + 5
Cada uno de los pares de números suma 10. Así, que tenemos la siguiente suma fácil:
10 + 10 + 10 + 10 + 5
que resulta 45.
Además de re-acomodar para encontrar dieces (o veintes), re-acomodar números de forma que estén en orden descendiente tiende a ayudar. Por ejemplo supón que estás sumando los siguientes números:
1,100,000 270,000 3,300,000 + 30,000
Es probablemente más fácil re-acomodarlo como sigue:
3,300,000 1,100,000 270,000 + 30,000
Es más fácil porque no tienes que recordar tantos dígitos diferentes de cero mientras se suman 3,300,000 y 1,100,00. Sumar 270,000 y 30,000 también ayudará, así te quedan 4,400,000 y 300,000 una suma fácil que da un total de 4,700,000.
Deje esa carga
Cuando aprendiste a hacer la multiplicación en la escuela (con lápiz y papel), probablemente aprendiste a trabajar de derecha a izquierda, cargando según avanzabas:
841 (llevas 1) X 74 (llevas 2) --------- 3,364 5,887 --------- 62,234
Nota que tuviste que cargar dos veces, una cuando multiplicaste el 4 en 74 por el 4 en 841, y una vez cuando multiplicaste el 7 por ese 4. Si intentas hacer esto mentalmente, tendrás que memorizar varios números entre los pasos. Por ejemplo, cuando multipliques el 7 por el 8, necesitaras recordar el 3364 de la primera multiplicación, el 87 que acabas de calcular y el 2 que cargabas.
En lugar de trabajar de derecha a izquierda, trabajemos de izquierda a derecha, sólo multiplicando uno de los seis pares de dígitos a la vez. No estamos haciendo esto sólo para ser diferentes; sino, que queremos limitar la cantidad de información que necesitaremos recordar.
Antes de intentar nuestro ejemplo anterior, hagamos un problema más sencillo. Multiplicando un número de dos dígitos por otro de dos dígitos resulta ser interesante. Supón que necesitamos multiplicar 42 x 29. Multiplicamos cada par de números (poniendo atención en las potencias de 10), comenzando a la izquierda, y sacando un total:
4 2 2 9
Los cálculos individuales se ven como esto:
40 x 20 = 800 40 x 9 = 360, entonces, 800 + 360 = 1,160 2 x 20 = 40, luego 1160 + 40 = 1,200 2 x 9 = 18, luego 1200 + 18 = 1,218
Nota que sólo tuvimos que recordar un número entre cada paso; esto se sigue cumpliendo para números más grandes. Claro que, no hay nada de malo con escribir ese número si hay papel y lápiz a la mano, y probablemente encontrarás este método más fácil y menos propenso a errores que el método habitual.
Cambiar de números altos a menores tiende a funcionar mejor porque es más fácil sumar un número pequeño a uno grande. Como bono, si necesitas solo un estimado, puedes detenerte después de hacer las primeras multiplicaciones.
Ahora, de regreso al ejemplo inicial. Contiene los pares de dígitos:
841 74
Los cálculos se ven como sigue:
800 x 70 = 56,000 800 x 4 = 3,200 -> 56,000 + 3,200 = 59,200 40 x 70 = 2,800 -> 59,200 + 2,800 = 62,000 40 x 4 = 160 -> 62,000 + 160 = 62,160 1 x 70 = 70 -> 62,160 + 70 = 62,230 1 x 4 = 4 -> 62,230 + 4 = 62,234
Por supuesto, esta es la misma respuesta que encontramos antes; resolver un problema de dos formas diferentes es una buena manera de confirmar el resultado.
Busca números amigables
¿Cuál problema de sumas harías: 79 + 87 u 80 + 86? Seguramente el segundo; es más fácil porque 80, que termina en 0, es un “número amigable”. Para la suma, los números que terminan en cero son amigables porque sumar el lugar correspondiente al cero es trivial (sumar 0 a un número no lo cambia). Luego, podemos sumar mentalmente el lugar de las decenas (8 + 8 = 16) y luego agregar el 6 de las unidades para obtener la respuesta, 166.
El truco para problemas con sumas más difíciles es cambiar el problema sin cambiar la respuesta de forma que tengamos números amigables. Por ejemplo, si tenemos 79 + 87, notamos que 79 está cerca del número amigable 80. Para cambiar 79 por 80, le sumamos 1, así que para mantener la misma respuesta, necesitamos restarle 1 en alguna parte. Restémosle 1 al otro número, 87, para tener 86 y entonces 80 + 86 = 166, como en el ejemplo anterior.
“Alternativamente, puedes sumar 80+87=167, y restar el 1 que se agregó del resultado.”
El mismo principio funciona con la multiplicación. Supón que te pido que calcules 300 x 70 mentalmente. Multiplicando 3 x 7 = 21 y luego agregando los tres ceros, fácilmente obtienes los 21,000 del resultado. De nuevo, los ceros al final hacen fácil la multiplicación.
Si necesitamos multiplicar 302 x 69, podemos pensar como sigue:
302 x 69 = (300 + 2) x (70 - 1)
Ahora podemos hacer la misma multiplicación cruzada que hicimos antes, pero con partes más grandes.
300 x 70 = 21,000 300 x -1 = -300 -> 21,000 - 300 = 20,700 2 x 70 = 140 -> 20,700 + 140 = 20,840 2 x -1 = -2 -> 20,840 - 2 = 30,838
Los números que terminan en 0 son los más amigables, pero los múltiplos de 100 son muy amigables, también. Por ejemplo, si piensas en factores de 100, pensarás que el 25 es un numero amigable, y 75 es al menos el amigo de un amigo. Entonces, el ejemplo que usamos antes, 841 x 74, puede verse como:
841 x 74 = 841 x (75 - 1) = 841 x 75 - 841
Recuerda el menos 841, y hagamos 841 x 75:
841 x 75 = 841 x 3 x 25
= 2,523 x 25
= (2,524 - 1) x 25
= 2,524 x 25 - 25
= 2,524 x 100/4 – 25
= 63,100 - 25
= 63,075
Finalmente, resta el 841 que sobraba, parte por parte:
63,075 - 800 = 62,275 62,275 - 40 = 62,235 62,235 - 1 = 62,234
¡Lo que es una tercera confirmación del resultado!
Como funciona
Todos estos trucos se apoyan en las propiedades básicas de los enteros. Por ejemplo, la primera multiplicación que hicimos fue 841 x 74. Concluimos que usando:
841 x 74 = (800 + 40 + 1) x (70 + 4)
= 800 x (70 + 4) + 40 x (70+4) + 1 x (70 + 4)
= 800 x 70 + 800 x 4 + 40 x 70 + 40 x 4 + 1 x 70 + 1 x 4
La primer línea usa la definición del sistema numérico decimal, y el resto son repeticiones de la propiedad distributiva de los números.
Notas finales
Espero que este artículo así como los otros les sea de utilidad en algún momento. Como escribí antes, el tema del cálculo mental tiene mucha bibliografía que a la que pueden recurrir para volverse mejores. Aunque no es malo usar la calculadora, nunca está de más darle una sacudida a esas neuronas con algún problemita de matemáticas o lógica.
Algunos libros a los que pueden recurrir son:
¿Cómo calcular rápidamente? Henry Sticker, 1955, Ed. Dover.
Matemáticas Rápidas. Edward H. Julius, 1996, Ed. Wiley.
Atajos matemáticos. Gerard W. Kelly, 1984, Ed. Dover.
May 30th, 2009 at 5:32 PM
I’ve been questioning for a while how useful this actually is, or all the math I’ve learned, or even all the “stuff” I was put thru during my days in the classroom for that matter.
It also brings the prejudice of the people thinking fast arithmetics implies a gifted brain, or being a genius. It brings a image to my head of someone bragging of how fast they can compute this or that. Which makes me despise it.
Furthermore in a country like Mexico with so much corruption, what one kinda has rely on is contacts. Now, relying on other people doesn’t necessarily relate to corruption; nowadays with interdisciplinary teams working for a common goal, even the government has been stressing the need for teamwork thru its education methods. Indeed, communication skills, a good attitude for teamwork might as well be mandatory, more even so in today’s world.
I’m sorry, but I didn’t read the whole thing, it’s very easily digested, most likely because of its nature, as opposed to how you put it together.
In Japan, arithmetic tricks just had a boom with the influence of these Indian “magic methods”; arguing that Japan is slightly falling behind in math.
Some of the stuff you present, I use it sometimes. Also when it comes to fractions, I often try to factorize to hopefully reduce the factions and what not.
For the first example, I’d use 1+…+n = n(n+1)/2, but I see that you’re using it as an easy example to show a more generic technique you could say.
June 3rd, 2009 at 8:36 PM
Well, my articles aren’t intended to be a brag nor intended to say i’m a genius (lol, i wish
), but to help people. I picked this one thinking of a class i had some time ago, where 98% of my students needed a calculator to do 3 digit SUMS, i was shocked…
June 24th, 2009 at 10:04 AM
¿Que le pasa a Wrong? Primero hecha un rollo de que ¿cuál es el objetivo de ese conocimiento? ¿que les caen mal los que mofan de eso? luego se mete con politica, no lee todo, porque para el es bien facilito, jajaja
En fin, a mi si me gusto, ya utilizo algunos trucos que mencionas, pero nunca se me ocurrio lo de hacer la multiplicacion de esa manera, esta muy interesante, saludos!
June 24th, 2009 at 11:07 AM
Para poner un poco de contexto a los comentarios de Wrong.
El se refería, primero, a la gente que se burla de los que tienen alguna habilidad matemática (que también me tocó vivirlo en alguna ocasión) y como nos pre-juician sin conocernos.
En segundo, a cómo nuestros valores van “de bajada” y la corrupción deja pasar a “profesionistas” que no saben siquiera sumar. Lo que me recuerda el comercial donde la enfermera le dice al Doctor Balín, -Doctor, allí no está el baso. Y el Doctor recuerda cómo compro su Título PIRATA..
Eso es más o menos lo que me Wrong por el chat.
July 7th, 2009 at 12:09 AM
I’d be interested in learning about your experience with people mocking you for your abilities in math; however, that’s not what I meant to talk about. Seeing how my ideas weren’t expressed clearly enough, I’ll try again here.
I didn’t say I hate people who mock those with math abilities, I said I hated those who brag about their math abilities. Bragging and mocking is not the same thing. Anyway, to make it even clearer: the kind of stuff I dislike is (people who say or show the stuff like following in their attitude):
“I’m so cool because I can do so fast”
“I’m so good at arithmetics and algebra, I’m a genius”
“I need no calculator, I can do all math operations in my mind, people who use calculators are plain stupid/inferior/retarded.”
“I’m just intellectually superior. Stupid people, I can’t stand them.”
Whether they say this or express it in their behavior.
Now, in my previously posted comment I meant to say “NOT very easily”, otherwise it’d sound like I were taking credit off you, for having presented the content in the format you used.
Another point, when I talked about corruption and so forth, I meant to present another reason for me to care less for mastering math tricks (remember I said I doubted their usefulness) and focus more on other things, such as -at least in the case of Mexico- how to make the contacts that will help you achieve what you’re after.
Thus, giving some foundation to my doubts. Hopefully I did a better job making myself clear this time, instead of giving rise to new misunderstandings.
July 7th, 2009 at 10:38 PM
Wrong said: “I’d be interested in learning about your experience with people mocking you for your abilities in math;”
Hm… someone i didn’t know called me “brainy” in highschool, that’s all i remember. Never put much attention tho and i don’t like to be a poser, so i guess i was unnoticed. Something funny now its that when i say which carreer i graduated in people take for granted im a living calculator
Wrong said: “I said I hated those who brag about their math abilities.”
Again, im sorry if my article seems like some short of bragging. As all my articles they are intended to help people and/or show my works and get some good feedback like your comments.
Wrong said: “I meant to present another reason for me to care less for mastering math tricks (remember I said I doubted their usefulness) and focus more on other things”
Mastering math tricks can be fun and also can be useless, it all depends on the environment. If you are a cashier without a helping machine they can prove being very useful. If someone has problems learning certain formula, maybe a math trick can take him in the right path to learn it or use it faster. So, even thought what you say about Mexico its true, don’t discard math tricks as a help (and i dont say people has to master them).
Hehe, you brought me back some memories. Thanks for the comments again.
July 8th, 2009 at 12:04 PM
I was concerned my comments would sound like bashing. It’s good to see that you take a positive attitude towards them though.
July 13th, 2009 at 4:34 PM
En realidad no solo los que saben usar “trucos matematicos” presumen. Hace unos meses juge Gears of War en X-Box Live, en cada juego, por lo menos una persona me insulto por mi poca habilidad para jugar, y los mismo para algunas personas que usan Linux, se sienten superiores y denigran a los usuarios de Windows o Mac, lo mismo pasa con los usuarios de Mac, la vida esta llena de presumir lo que yo tengo y tu no, simplemente hay que lidiar con ello.
Saludos!