En acción

Se han escrito libros completos sobre aritmética mental, así que no vamos a cubrir todo en este artículo. Este artículo cubre algunas técnicas típicas útiles por sí mismas. Si encuentras este artículo interesante y provechoso, puedes revisar alguno de los libros sobre el tema, algunos de los cuales se citan al final.

Re-acomodar
Supón que necesita sumar los siguientes números:9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Podrías sumar 9 + 8 para obtener 17, luego sumar 7 a eso para obtener 24, y seguir adelante. Pero es mucho más fácil re-acomodar la suma:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 + 5

Cada uno de los pares de números suma 10. Así, que tenemos la siguiente suma fácil:
10 + 10 + 10 + 10 + 5

que resulta 45.

Además de re-acomodar para encontrar dieces (o veintes), re-acomodar números de forma que estén en orden descendiente tiende a ayudar. Por ejemplo supón que estás sumando los siguientes números:

 1,100,000
   270,000
 3,300,000
+   30,000

Es probablemente más fácil re-acomodarlo como sigue:

 3,300,000
 1,100,000
   270,000
+   30,000

Es más fácil porque no tienes que recordar tantos dígitos diferentes de cero mientras se suman 3,300,000 y 1,100,00. Sumar 270,000 y 30,000 también ayudará, así te quedan 4,400,000 y 300,000 una suma fácil que da un total de 4,700,000.

Deje esa carga
Cuando aprendiste a hacer la multiplicación en la escuela (con lápiz y papel), probablemente aprendiste a trabajar de derecha a izquierda, cargando según avanzabas:

  841		(llevas 1)
X  74		(llevas 2)
---------
3,364
5,887
---------
62,234

Nota que tuviste que cargar dos veces, una cuando multiplicaste el 4 en 74 por el 4 en 841, y una vez cuando multiplicaste el 7 por ese 4. Si intentas hacer esto mentalmente, tendrás que memorizar varios números entre los pasos. Por ejemplo, cuando multipliques el 7 por el 8, necesitaras recordar el 3364 de la primera multiplicación, el 87 que acabas de calcular y el 2 que cargabas.

En lugar de trabajar de derecha a izquierda, trabajemos de izquierda a derecha, sólo multiplicando uno de los seis pares de dígitos a la vez. No estamos haciendo esto sólo para ser diferentes; sino, que queremos limitar la cantidad de información que necesitaremos recordar.

Antes de intentar nuestro ejemplo anterior, hagamos un problema más sencillo. Multiplicando un número de dos dígitos por otro de dos dígitos resulta ser interesante. Supón que necesitamos multiplicar 42 x 29. Multiplicamos cada par de números (poniendo atención en las potencias de 10), comenzando a la izquierda, y sacando un total:

4 2
2 9

Los cálculos individuales se ven como esto:

40 x 20 = 800
40 x 9  = 360, entonces,  800 + 360 = 1,160
2  x 20 = 40, luego 1160 + 40 = 1,200
2  x 9  = 18, luego 1200 + 18 = 1,218

Nota que sólo tuvimos que recordar un número entre cada paso; esto se sigue cumpliendo para números más grandes. Claro que, no hay nada de malo con escribir ese número si hay papel y lápiz a la mano, y probablemente encontrarás este método más fácil y menos propenso a errores que el método habitual.

Cambiar de números altos a menores tiende a funcionar mejor porque es más fácil sumar un número pequeño a uno grande. Como bono, si necesitas solo un estimado, puedes detenerte después de hacer las primeras multiplicaciones.
Ahora, de regreso al ejemplo inicial. Contiene los pares de dígitos:

841
74

Los cálculos se ven como sigue:

800 x 70 = 56,000
800 x 4  = 3,200 -> 56,000 + 3,200 = 59,200
40  x 70 = 2,800 -> 59,200 + 2,800 = 62,000
40  x 4  = 160   -> 62,000 + 160   = 62,160
1   x 70 = 70    -> 62,160 + 70    = 62,230
1   x 4  = 4     -> 62,230 + 4     = 62,234

Por supuesto, esta es la misma respuesta que encontramos antes; resolver un problema de dos formas diferentes es una buena manera de confirmar el resultado.

Busca números amigables
¿Cuál problema de sumas harías: 79 + 87 u 80 + 86? Seguramente el segundo; es más fácil porque 80, que termina en 0, es un “número amigable”. Para la suma, los números que terminan en cero son amigables porque sumar el lugar correspondiente al cero es trivial (sumar 0 a un número no lo cambia). Luego, podemos sumar mentalmente el lugar de las decenas (8 + 8 = 16) y luego agregar el 6 de las unidades para obtener la respuesta, 166.

El truco para problemas con sumas más difíciles es cambiar el problema sin cambiar la respuesta de forma que tengamos números amigables. Por ejemplo, si tenemos 79 + 87, notamos que 79 está cerca del número amigable 80. Para cambiar 79 por 80, le sumamos 1, así que para mantener la misma respuesta, necesitamos restarle 1 en alguna parte. Restémosle 1 al otro número, 87, para tener 86 y entonces 80 + 86 = 166, como en el ejemplo anterior.

“Alternativamente, puedes sumar 80+87=167, y restar el 1 que se agregó del resultado.”

El mismo principio funciona con la multiplicación. Supón que te pido que calcules 300 x 70 mentalmente. Multiplicando 3 x 7 = 21 y luego agregando los tres ceros, fácilmente obtienes los 21,000 del resultado. De nuevo, los ceros al final hacen fácil la multiplicación.

Si necesitamos multiplicar 302 x 69, podemos pensar como sigue:

302 x 69 = (300 + 2) x (70 - 1)

Ahora podemos hacer la misma multiplicación cruzada que hicimos antes, pero con partes más grandes.

300 x 70 = 21,000
300 x -1 = -300 -> 21,000 - 300 = 20,700
2   x 70 = 140  -> 20,700 + 140 = 20,840
2   x -1 = -2   -> 20,840 - 2   = 30,838

Los números que terminan en 0 son los más amigables, pero los múltiplos de 100 son muy amigables, también. Por ejemplo, si piensas en factores de 100, pensarás que el 25 es un numero amigable, y 75 es al menos el amigo de un amigo. Entonces, el ejemplo que usamos antes, 841 x 74, puede verse como:

841 x 74 = 841 x (75 - 1) = 841 x 75 - 841

Recuerda el menos 841, y hagamos 841 x 75:

841 x 75 = 841 x 3 x 25
         = 2,523 x 25
         = (2,524 - 1) x 25
         = 2,524 x 25 - 25
         = 2,524 x 100/4 – 25
         = 63,100 - 25
         = 63,075

Finalmente, resta el 841 que sobraba, parte por parte:

63,075 - 800 = 62,275
62,275 - 40  = 62,235
62,235 - 1   = 62,234

¡Lo que es una tercera confirmación del resultado!

Como funciona

Todos estos trucos se apoyan en las propiedades básicas de los enteros. Por ejemplo, la primera multiplicación que hicimos fue 841 x 74. Concluimos que usando:

841 x 74 = (800 + 40 + 1) x (70 + 4)
         = 800 x (70 + 4) + 40 x (70+4) + 1 x (70 + 4)
         = 800 x 70 + 800 x 4 + 40 x 70 + 40 x 4 + 1 x 70 + 1 x 4

La primer línea usa la definición del sistema numérico decimal, y el resto son repeticiones de la propiedad distributiva de los números.

Notas finales

Espero que este artículo así como los otros les sea de utilidad en algún momento. Como escribí antes, el tema del cálculo mental tiene mucha bibliografía que a la que pueden recurrir para volverse mejores. Aunque no es malo usar la calculadora, nunca está de más darle una sacudida a esas neuronas con algún problemita de matemáticas o lógica.

Algunos libros a los que pueden recurrir son:

¿Cómo calcular rápidamente? Henry Sticker, 1955, Ed. Dover.
Matemáticas Rápidas. Edward H. Julius, 1996, Ed. Wiley.
Atajos matemáticos. Gerard W. Kelly, 1984, Ed. Dover.